【人工智能学习笔记】 1.2数学分析(二) -1.无穷级数

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无穷级数

引言：

$\Large0.\bar{3}=0.3333333...=\frac{3}{10}+\frac{3}{10^2}+\frac{3}{10^3}+\frac{3}{10^4}+......+\frac{3}{10^n}+......$

1 无穷级数

定义

   定义：设{$a_n$}是任意的一个实数列，称形如$s=a_1+a_2+a_3+...$的无穷和为无穷数值级数，简称数项级数，记为$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$：
   $f:D \subseteq R^2 \rightarrow R$ 或$z=f(x,y),(x,y)\in D$；

   其中x，y是自变量，$z$为因变量；

2.函数项级数：

函数项级数：

   定义：设$u_n(x),(n=1,2,3,...)$是定义在集合I上的集合

$\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)+...$

称为函数项级数，记作$\large S_n(x)=\sum_{k=1}^{\infty}u_k(x)$

{$S_n(x)$}为部分和函数序列。

3.幂级数

   定义：函数项级数

$\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n$

称为幂级数

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4.傅里叶级数

4.1 傅里叶

4.2 定义三角函数系

1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…,cos nx,sin nx,…

4.3 定义：函数正交

  设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]可积，$\int_a^bf(x)g(x)dx=0$，则称f(x),g(x)在区间[a,b]是正交的。

4.4 定义：函数正交系

  设函数系{$f_n(x)$}在区间[a,b]上可积，且

$\Large\int_a^b f_n(x)f_m(x)dx= \left\{\begin{matrix} 0 , n\neq m\\ A \neq 0, n=m \end{matrix}\right.$