【人工智能學習筆記】 1.1數學分析(一) -9.微分中值定理及其應用

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微分中值定理

引言

函數極值定義：

設函數f(x)在區間(a,b)內有定義，$x_0$是(a,b)內的一個點，

• 如果存在點$x_0$的一個鄰域對於鄰域內的任意點x，都有$f(x)\geq f(x_0)$成立，就稱$f(x_0)$是函數f(x)的一個極小值。

• 如果存在點$x_0$的一個鄰域對於鄰域內的任意點x，都有$f(x)\leq f(x_0)$成立，就稱$f(x_0)$是函數f(x)的一個極大值。

  
  

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1.費馬定理(函數極限點的必要條件)

   設函數f(x)在點$x_0$可導，若$x_0$是f(x)的一個極限點，則$f'(x_0)=0$.

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2.羅爾中值定理

   若函數f(x)滿足一下三個條件

$\large(1) f(x) \in C[a,b]$;

$\large(2) f(x) \in D(a,b)$;

$\large(3) f(a)=f(b)$;

則$\exists\xi \in(a.b),$使得$f'(\xi) =0$

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3.拉格朗日中值定理

   若函數f(x)滿足條件

(1)在閉區間[a,b]上連續;

(2)在開區間(a,b)內可導;

則$\exists\xi \in(a.b),$使得 $\Large f'(\xi) =\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

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4.柯西中值定理

   若函數f(x),g(x)滿足條件

(1)在閉區間[a,b]上連續;

(2)在開區間(a,b)內可導,且$\forall x \in (a,b)$,均有$g'(x)\neq 0$;

則$\exists\xi \in(a.b),$使得 $\Large \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

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5.洛必達法則

 5.1 目標

   主要解決$\Large\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty}$

 5.2 $\Large\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty}$定義

   如果當$x\rightarrow a(x\rightarrow \infty)$時，兩個函數f(x)與g(x)都趨向於零或趨於無窮大，那麼極限

$\Large\lim_{x\rightarrow a(x\rightarrow \infty)}\frac{f(x)}{g(x)}$稱爲$\Large\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty}$型不定型

5.3 洛必達法則

   定理：設函數f(x),g(x)滿足以下三個條件:

     $(1)\large\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=0,\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=0$;

     (2)在$x_0$點的某鄰域內f’(x),g’(x)都存在且$g'(x)\neq0$;

     $(3)\Large\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$存在（或$\Large\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\infty$）;

$\Large\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$.