【人工智能學習筆記】 1.1數學分析(一) -8.微分

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微分

引言

   微分是通過一些物理現象等應用中抽象出來的概念，其本質是用線性函數逼近複雜函數，通過線性主部來逼近出一個近似值。

1.微分的定義

   如果成立：

   $\large \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A.\Delta x+o(\Delta x)$

其中A是與$\Delta x$無關的常數，則稱函數y=f(x)在點$x_0$可微。 並且稱A.$\Delta x$爲函數y=f(x)在點$x_0$處的微分，

記作$dy|_{x=x_0}=A.\Delta x$或$df(x_0)=A.\Delta x$。

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2.微分法則的四則運算

和差：$\color{red}d(u\pm v)=du\pm dv$

積：$\color{red}d(uv) = vdu+udv$

商：$\color{red}\Large d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{v^2}$

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3.複合函數的微分法則

  $\large{dy= f'(u)du}$

4.微分在近似中的應用

設函數y=f(x)可微，當$|\Delta x|$很小時，$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x)\approx f'(x_0)\Delta x,$


函數增量的近似值：

$\large\Delta y\approx f'(x_0)\Delta x,$

$\Rightarrow f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x,$

$\Rightarrow f(x)\approx f(x_0)+f'(x+0)(x-x_0),$

例如： $\Rightarrow f(x)\approx f(0)+f'(0).x$

當|x|很小時，

$\large(1) (1+x)^{\alpha}\approx 1+\alpha x$;

$\large(2) sinx\approx x$;

$\large(3) tanx\approx x$;

$\large(4) e^x \approx 1+x$;

$\large(5) ln(1+x) \approx x$;