【人工智能學習筆記】 1.3高等代數(一) -2.多項式：最大公因式，因式分解，重因式

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多項式：最大公因式，因式分解，重因式

1.最大公因式

1.1 公因式 最大公因式

公因式: $f(x)、g(x) \in P[x]$, 若$\varphi (x) \in P[x],$

滿足: $\varphi (x)|f(x)且\varphi (x)|g(x),$

則稱$\varphi (x)爲f(x)、g(x)$的公因式.

最大公因式:

$f(x)、g(x) \in P[x]$, 若$d (x) \in P[x],$

滿足: 1) $d(x)|f(x),d (x)|g(x);$

2) $\varphi (x) \in P[x], \varphi (x)|f(x)且\varphi (x)|g(x),$

則稱$d(x)爲f(x)、g(x)$的最大公因式

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1.2 最大公因式的存在性與求法

引理:

若等式 $f(x) =q(x)g(x)+r(x)$成立，則$f(x)、g(x)$與$g(x)、r(x)$ 有相同的公因式,從而$(f(x),g(x))=(g(x),f(x))$

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1.3 互素(coprime)

定義: $f(x) ,g(x)\in P[x]$,若$(f(x),g(x))=1$，則稱f(x),g(x)爲互素的(或互質的)。

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2.多項式因式分解

因式分解及唯一性定理

定理: $\forall p(x) \in P(x)$，若 $\partial(f(x))\geq 1$ 則 f(x)可唯一地分解成數域 P上一些不可約多項式的乘積.

所謂唯一性是說，若有兩個分解式：

$f(x)=p_1(x)p_2(x)...p_s(x)=q_1(x)q_2(x)...q_t(x)$

則 s = t ，且適當排列因式的次序後，有

$p_i(x)=c_iq_i(x)$

其中 c_i ( i= 1,2,… ,s ) 是一些非零常數．

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3.重因式:

k重因式定義

設 p(x)爲數域P的不可約多項式，$f(x)\in P[x]$,

若 $p^k(x)|f(x)$ ，但 $p^{k+1}(x)\dotplus f(x)$,則稱 p (x)爲 f (x)的 k重因式.

若 k >1, 則稱 p(x)爲f(x) 的 重因式.

若 k = 1, 則稱 p(x)爲f(x) 的 單因式.

（若 k =0，p (x)不是 f (x)的因式)

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