【人工智能學習筆記】 1.3高等代數(一) -4.多項式：有理係數多項式，多元多項式， 對稱多項式

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多項式：有理係數多項式，多元多項式， 對稱多項式

1.有理係數多項式

1.1 本原多項式

定義：設$g(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_1x+b_0 \neq 0,b_i \in Z,i=0,1,2,...,n$若 $b_n,b_{n-1},...,b_1,b_0$ 沒有異於$\pm 1$ 的公因子，即 $b_n,b_{n-1},...,b_1,b_0$ 是互素的，則稱 g (x)爲本原多項式．

1.2 整係數多項式的因式分解

定理 若一非零的整係數多項式可分解成兩個次數較低的有理係數多項式，則它一定可分解成兩個次數較低的整係數多項式的乘積．

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2.多元多項式

2.1 n元多項式

定義：設 P 爲一個數域， $x_1,x_2,...,x_n$ 是n個文字, 形式$ax_1^{k_1}x_2^{k_2}...x_n^{k_n},a \in P,k_i \in Z^+,i=1,2,...,n$ 稱爲數域　上的一個 P 單項式；

$a \neq 0$ 時，稱此單項式中各文字的指數之和$k_1+k_2+...,+k_n$爲這個單項式的 次數

有限個單項式的和

$f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum_{k_1k_2...k_n}a_{k_1k_2...k_n}x_1^{k_1}x_2^{k_2}...x_n^{k_n}$

稱爲數域P上的一個 n元多項式；

n元多項式中係數不爲零的單項式的最高次數稱爲這個多項式的 次數．

2.2 n元多項式的運算

加法　減法　乘法

2.3 n元多項式的相等

2.4 n元多項式環

數域 P上關於文字$x_1,x_2,...,x_n$的全體 n元多項式的集合稱爲數域 P上的 n元多項式環，記作

$P[x_1,x_2,...,x_n]$

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3.多元多項式

3.1 n 元對稱多項式

定義：設 $f(x_1,...,x_n) \in P[x_1,x_2,...,x_n],$

若對任意 $i,j(1\leq i,j \leq n)$ ，有

$f(x_1,...,x_i,...,x_j,...x_n)=f(x_1,...,x_j,...,x_i,...,x_n)$

則稱該多項式爲對稱多項式．

特別地，初等對稱多項式的多項式仍爲對稱多項式