【人工智能學習筆記】 1.3高等代數(一) -5.行列式：排列，n 級行列式

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行列式：排列，n 級行列式， n 級行列式的性質， 行列式的計算

1.排列

1.1 排列的定義

定義：由$1,2，...,n$組成的一個有序數組稱爲一個 n 級排列．

說明：

如，所有的3級排列是 123，132，213，231，312，321．

——共6=3！個

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1.2 逆序　逆序數

我們規定各元素之間有一個標準次序, n 個不同的自然數，規定由小到大爲標準次序

定義: 一個排列中逆序的總數稱爲這個排列的逆序數．與標準次序相反，即前面的數大於後面的數，則稱這對數爲一個逆序．

在一個排列中，如果一對數的前後位置

例．排列 31542 中，逆序有 31， 32， 54， 52， 42

$\therefore \tau(31542) = 5$

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1.3 奇排列、偶排列

定義 :逆序數爲奇數的排列稱爲奇排列；

逆序數爲偶數的排列稱爲偶排列

注： 標準排列 123……n 爲偶排列

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1.4 對換

定義 :把一個排列中某兩個數的位置互換，而其餘的數不動，得到另一個排列，這一變換稱爲一個對換．

將相鄰兩個元素對調，叫做相鄰對換

定理1 對換改變排列的奇偶性．即經過一次對換，奇排列變成偶排列，偶排列變成奇排列．

2.n 級行列式

2.1 二級行列式

$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11} a_{22} -a_{12} a_{21}$

2.2 三級行列式

$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}&a_{13} \\ a_{21} & a_{22} &a_{23} \\a_{31} & a_{32} &a_{33} \\\end{vmatrix}$

$=a_{11} a_{22}a_{33} +a_{12} a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13} a_{22}a_{31}-a_{12} a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}$

2.3 n級行列式

D= $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}&a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &a_{2n} \\ ......... \\a_{n1} & a_{n2} &a_{nn} \\\end{vmatrix}=\sum_{j_1j_2...j_n}(-1)^{\tau(j_1...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n}$

這裏$\sum_{j_1j_2...j_n}$ 表示對所有1、2、… 、 n的n級排列求和．