【人工智能学习笔记】 1.3高等代数(一) -7.行列式：行列式按行(列)展开，Cramer法则，Laplace定理行列式乘法法则

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行列式：行列式按行(列)展开，Cramer法则，Laplace定理行列式乘法法则

1.行列式按行(列)展开

1.1 余子式、代数余子式

定义： 在 n 级行列式 $det(a_{ij} )$ 中将元素 $a_{ij}$所在的第 i 行与第 j 列划去，剩下 $(n-1)^2$个元素按原位置次序构成一个 n - 1 的行列式，

$\begin{vmatrix} a_{11} &... &a_{1,j-1} &a_{1,j+1} &... & a_{1n} \\ ... & ... & ... & ... & ... &... \\ a_{i-1,1} &... &a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1} &... & a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1} &... &a_{i+1,j-1} &a_{i+1,j+1} &... & a_{i+1,n} \\ ... &... & ... & ... & ... &... \\ a_{n1} &... &a_{n,j-1} &a_{n,j+1} &... & a_{nn} \end{vmatrix}$

称之为元素 $a_{ij}$ 的余子式,记作 $M_{ij}$．

令 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

称 $A_{ij}$之为元素 $a_{ij}$ 的代数余子式．

注意

1）行列式中每一个元素分别对应着一个余子式和代数余子式．

2）元素 $a_{ij}$ 的余子式和代数余子式与$a_{ij}$ 的大小无关，只与该元素的在行列式中的位置有关．

1.2 定理 行列式按行（列）展开法则

定义： 行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}=\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik}$

1.3 范德蒙行列式

定义： 行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素

$D_n=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & ... &1 \\ a_1 & a_2 & a_3 &... &a_n \\ a_1^2 &a_2^2 &a_3^2 &... & a_n^2\\ ...& ... &... &... &... \\ a_1^{n-1} &a_2^{n-1} & a_3^{n-1} & ... & a_n^{n-1} \end{vmatrix}=\prod _{1\leq j<i \leq n}(a_i-a_j)$

2.Cramer(克兰姆)法则

2.1 非齐次与齐交线性方程组的概念

非齐次线性方程组：设线性方程组

$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...a_{2n}x_n=b_2\\ ...\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...a_{nn}x_n=b_n\\ \end{matrix}\right.$

若常数项$b_1,b_2,...,b_n$不全为零，则称为此线性方程组为非齐次线性方程组．

简记为$\sum_{j=1}^na_{ij}x_j=b_i,$

$i=1,2,...,n$

若常数项$b_1=b_2=...=b_n=0$, 即

$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...a_{1n}x_n=0\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...a_{2n}x_n=0\\ ...\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...a_{nn}x_n=0\\ \end{matrix}\right.$

则称为齐次线性方程组．

简记为$\sum_{j=1}^na_{ij}x_j=0,$

$i=1,2,...,n$

2.2 克兰姆法则

如果线性方程组$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...a_{2n}x_n=b_2\\ ...\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...a_{nn}x_n=b_n\\ \end{matrix}\right.$的系数矩阵

$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & ... &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n} \\ ... & ... & ...&... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... &a_{nn}\end{pmatrix}$

的行列式$D=|A|\neq 0,$,则方程组 有唯一解

$x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},...,x_n=\frac{D_n}{D}$

3.Laplace定理行列式乘法法则

3.1 k 级子式　余子式　代数余子式

定义： 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列 ( $k \leq n$ )，位于这些行和列的交叉点上的$k^2$ 个元素按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列式D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后余下的元素按照原来的次序组成的n - k 级 行列 式 M’ ，称为 k 级子式 M 的余子式；

若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是

$i_1,i_2,...,j_k;j_1,j_2,...,j_k$，则在 M 的余子式M’ 前加上符号$(-1)^{i_1+i_2+...+i_k+j_1+j_2+...+j_k}$后称之为 M 的代数余子式，记为 .
$A = (-1)^{i_1+i_2+...+i_k+j_1+j_2+...+j_k}M'$

3.2 Laplace 定理

定义： 设在行列式 D 中任意取 $k ( 1 \leq k \leq n-1 )$行，由这 k 行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积和等于 D．即若 D 中取定 k 行后，由这 k 行得到的 k 级子式为 $M_1,M_2,...,M_t$ ，它们对应的代数余子式分别为$A_1,A_2,...,A_t$ ,则$D=M_1A_1+M_2A_2+...+M_tA_t$