【人工智能学习笔记】 1.3高等代数(一) -10.线性组合,向量组的等价,线性相关性,极大无关组

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线性组合,向量组的等价,线性相关性,极大无关组

1.线性组合

1.1 定义

设$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\in P^n,\forall k_1,k_2,...,k_s \in P$

和 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_s\alpha_s$

称为向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$的一个线性组合.

若向量 $\beta$ 可表成向量组 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$的一个线性组合，则称向量$\beta$可由向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$ 线性表出.

注:

① 若 $\alpha =k\beta$ ，也称向量 $\alpha$ 与 $\beta$ 成比例

② 零向量0可由任一向量组的线性表出.

③ 一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出.

④任一 n维向量 $\alpha=(a_1,a_2,...,a_n)$都是向量组

$\epsilon_1=(1,0,...,0),\epsilon_2=(0,1,...,0),...,\epsilon_n=(0,0,...,1)$的一个线性组合.

事实上，有对任意$\alpha=(a_1,a_2,...,a_n)$皆有$\alpha=a_1\epsilon_1+a_2\epsilon_2+...+a_n)\epsilon_n.$

$\epsilon_1,\epsilon_2,...,\epsilon_n$也称为 n 维单位向量组.

2.向量组的等价

2.1 定义

若向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$中每一个向量 $\alpha_i(i=1,2,...,s)$皆可经向量组$\beta_1,\beta_2,...,\beta_t$线性表出，则称向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$可以经向量组$\beta_1,\beta_2,...,\beta_t$ 线性表出；

若两个向量组可以互相线性表出，则称这两个 向量组等价.

2.2 性质

向量组之间的等价关系具有：

1) 反身性

2) 对称性

3) 传递性

3.线性相关性

3.1 线性相关

定义1：如果向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s(s\geq2)$中有一向量可经其余向量线性表出，则向量组 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$称为线性相关的.

3.2 线性无关

定义2：如果向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$不线性相关，则称向量组 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$称为线性无关的.即

若不存在 P 中不全为零的数 $k_1,k_2,...,k_s\in P,$使

$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_s\alpha_s=0$

则称向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$为线性无关的

换句话说， 对于一个向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$,若由

$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_s\alpha_s=0$

必有 $k_1=k_2=...=k_s=0$,

则称向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$为线性无关的

3.3 线性相关性的有关性质

1）单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量；单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量.

2）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量组一定线性相关

3）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表出.

4）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关；

5）如果向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$ 线性无关，而向量组 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta$线性相关，则 $\beta$ 可经向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$线性表出

3.4 向量组线性相关的基本性质定理

定理2 设 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$ 　与$\beta_1,\beta_2,...,\beta_s$ 为两个向量组，若

i) 向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$可经 $\beta_1,\beta_2,...,\beta_r$线性表出；

ii) r > s .

则向量组 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$必线性相关

推论1 若向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$可经向量组 $\beta_1,\beta_2,...,\beta_s$

线性表出，且 $\beta_1,\beta_2,...,\beta_r$线线性无关，则$r\leq s$ .

推论2 任意 n＋1 个 n 维向量必线性相关.

（任意m (>n ) 个 n 维向量必线性相关.）

推论3 两个线性无关的等价向量组必含相同个数的向量.

4.极大线性无关组　秩

4.1 极大线性无关组

定义1：

设 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$为$P^n$ 中的一个向量组，它的一个部分组 $\alpha_{i1},\alpha_{i2},...,\alpha_{ir}$ 若满足

i) $\alpha_{i1},\alpha_{i2},...,\alpha_{ir}$ 线性无关；

ii) 对任意的$\alpha_j(1\leq j\leq s)$可经$\alpha_{i1},\alpha_{i2},...,\alpha_{ir}$线性表出；

则称$\alpha_{i1},\alpha_{i2},...,\alpha_{ir}$为向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$ 的一个

极大线性无关组，简称极大无关组.

注:

1）一个向量组的极大无关组不是唯一的.

2）向量组和它的任一极大无关组等价.

3）一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身.

4）一个向量组的任意两个极大无关组都等价.

5）一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同个数的向量.

4.2 向量组的秩

定义　向量组的极大无关组所含向量个数称为这个向量组的秩

性质：

1）一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量个数相同；

一个向量组线性相关的充要条件是它的秩＜它所含向量个数.

2）等价向量组必有相同的秩.

3）若向量组$\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}$可经向量组 $\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{t}$线性表出，则秩$\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}\leq$秩 $\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{t}$