【人工智能学习笔记】 1.3高等代数(一) -15.矩阵乘积的行列式，非退化矩阵，矩阵乘积的秩

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矩阵乘积的行列式，非退化矩阵，矩阵乘积的秩

一. 矩阵乘积的行列式

1.1 引入 行列式乘法规则

$D_1=\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{1n} \\ ... & ... & ... &... \\ a_{n1} &a_{n2} & ...&a_{nn} \end{vmatrix}$— |A|

$D_2=\begin{vmatrix} b_{11} &b_{12} &... &b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & ... &b_{1n} \\ ... & ... & ... &... \\ b_{n1} &b_{n2} & ...&b_{nn} \end{vmatrix}$— |B|

则$D_1D_2=\begin{vmatrix} c_{11} &c_{12} &... &c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & ... &c_{1n} \\ ... & ... & ... &... \\ c_{n1} &c_{n2} & ...&c_{nn} \end{vmatrix}$— |AB|

其中$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{in}b_{nj}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj},$

$i,j=1,2,...,n$

1.2 定理1

设 A B, 为数域 P上的 n级矩阵，则

$|AB|=|A||B|$

1.3 推广

$A_1,A_2,...,A_t$为数域 P 上的 n 级方阵，则

$|A_1A_2...A_t|=|A_1||A_2|...|A_t|.$

二. 非退化矩阵

2.1 定义

设 A 为数域 P上的 n级方阵，

若 $|A|\neq 0$，则称 A为非退化的；

若 $|A|= 0$，则称 A为退化的；

注： n 级方阵 A非退化$\Leftrightarrow R(A)=n \Leftrightarrow |A| \neq 0$.

n 级方阵 A退化$\Leftrightarrow R(A)<n \Leftrightarrow |A| = 0$.

2.2 推论

设 $A,B$为数域 P上的 n级矩阵，则

$AB$ 非退化 $\Leftrightarrow A,B$ 都非退化

($AB$ 退化 $\Leftrightarrow A或B$ 退化）

三. 矩阵乘积的秩

3.1 定理

设$A_{n \times m},B_{m \times s}$为数域 P上的矩阵，则

$R(AB) \leq min(R(A),R(B)).$

3.2 推广

如果$A=A_1A_2...A_t,$则

$R(AB) \leq min(R(A_1),R(A_2),...,R(A_t)).$