【人工智能学习笔记】 1.3高等代数(一) -18.初等矩阵，分块乘法的初等变换

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初等矩阵,等价矩阵,用初等变换求矩阵的逆,分块乘法的初等变换

一. 初等矩阵

1.1 定义

由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵，称为 初等矩阵.

三种初等变换对应着三种初等方阵:

1.对调两行或两列；

2.以数$k \neq0$乘某行或某列；

3.以数k乘某行（列）加到另一 行（列）上去．

1.2 初等矩阵的性质

1 初等矩阵皆可逆，且 其逆仍为初等矩阵.

$P(i,j)^{-1}=P(i,j)$

$P(i(k))^{-1}=P(i(\frac{1}{k}))$

$P(i,j(k))^{-1}=P(i,j(-k))$

1.3 引理

对任一矩阵 A作一初等行(列)变换相当于对 A 左(右)乘一个相应的初等矩阵．

$P(i,j)A:$ 对换 A的 i j , 两行;

$AP(i,j):$ 对换 A的 i j , 两列．

$P(i(k))A:$ 用非零数 k乘 A 的第 i 列;

$AP(i(k)):$ 用非零数 k 乘 A 的第 i 列;

$P(i,j(k))A:$ A 的第 j行乘以 k加到第 i行 ;

$AP(i,j(k)):$ A 的第 i 列乘以 k加到第 j列

二. 等价矩阵

2.1 定义

若矩阵B可由A经过一系列初等变换得到，则称A与B等价的．（也称A与B相抵）

注：

①　矩阵的等价关系具有：　反射性、对称性、传递性.

②　等价矩阵的秩相等．

2.2 矩阵等价的有关结论

定理 任一 $s \times n$ 矩阵 A 都与一形式为

$\begin{pmatrix} 1 &... &... &0 &... &0 \\ . & . & ... &... & ... &... \\ . & ... & 1 & 0 & ... & 0\\ 0& ... &0 &0 &... &0 \\ ... & ... & ... & ... & ... &... \\ 0& ... & 0 & 0&... &0 \end{pmatrix}= \triangle \begin{pmatrix}E_r &0 \\ 0 &0 \end{pmatrix}$

的矩阵等价，称之为 A 的标准形, 且主对角线上1的个数 等于R(A)(1的个数可以是零).

2) 矩阵A、B等价

$\Leftrightarrow$存在初等矩阵$P_1,P_2,...,P_s,Q_1,Q_2,...,Q_t,$

$B=P_1P_2...,P_sAQ_1Q_2...Q_t.$

3) n 级方阵A可逆 $\Leftrightarrow$A的标准形为单位矩阵E.

$\Leftrightarrow$A与单位矩阵E等价.

4) n 级方阵A可逆 $\Leftrightarrow$A能表成一些初等矩阵的积,

即 $A=Q_1Q_2...Q_t.$

三. 利用初等变换求逆阵

原理:当 $A \neq 0$时，由 $A=P_1P_2...P_t$，有

$P_l^{-1}P_{l-1}^{-1}...P_{1}^{-1}=E,$及$P_l^{-1}P_{l-1}^{-1}...P_{1}^{-1}E=A^{-1},$

$\therefore P_l^{-1}P_{l-1}^{-1}...P_{1}^{-1}(A \vdots E)$

$= (P_l^{-1}P_{l-1}^{-1}...P_{1}^{-1}A \vdots P_l^{-1}P_{l-1}^{-1}...P_{1}^{-1}E)$

$=(E\vdots A^{-1})$

即对$n \times 2n$矩阵$(A\vdots E)$ 施行初等行变换,当把A 变成 E时，原来的E就变成$A^{-1}$

四. 分块乘法的初等变换

E分块成$\begin{pmatrix} E_m & 0\\ 0 & E_n \end{pmatrix}$,作1次“初等变换”可得

$\begin{pmatrix} 0 & E_n \\ E_m & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & E_m \\ E_n & 0\end{pmatrix}$;

$\begin{pmatrix} P & 0 \\ 0 & E_n\end{pmatrix},\begin{pmatrix} E_m & 0 \\ 0 & P\end{pmatrix}$;

$\begin{pmatrix} E_m & P \\ 0 & E_n\end{pmatrix},\begin{pmatrix} E_m & 0 \\ P & E_n\end{pmatrix}.$

且有$\begin{pmatrix} 0 & E_n \\ E_m & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & B \\ C & D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} C & D\\A & B \end{pmatrix},$

$\begin{pmatrix} P & 0 \\ 0 & E_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & B \\ C & D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} PA & PB\\C & D \end{pmatrix},$

$\begin{pmatrix} E_m & 0 \\ P & E_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & B \\ C & D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A & B\\C+PA & D+PB \end{pmatrix},$

特别地,若A可逆，令 $P=-CA^{-1}.$上式变为：

$\begin{pmatrix} E_m & 0 \\ -CA^{-1} & E_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & B \\ C & D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A & B\\0 & D-CA^{-1}B \end{pmatrix}$