【人工智能学习笔记】 1.3高等代数(一) -12.线性方程组有解判别定理,齐次线性方程组解的结构,一般线性方程组解的结构

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线性方程组有解判别定理


1.线性方程组有解判别定理

定义

设线性方程组{a11x1+a12x2+...a1nxn=b1a21x1+a22x2+...a2nxn=b2...as1x1+as2x2+...asnxn=bs\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...a_{2n}x_n=b_2\\ ...\\a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+...a_{sn}x_n=b_s\\ \end{matrix}\right. (1)

其系数矩阵A和增广矩阵Aˉ\bar{A}分别为

A=(a11a12...a1na21a22...a2n............as1as2...asn)A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & ... &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n} \\ ... & ... & ...&... \\ a_{s1} & a_{s2} & ... &a_{sn}\end{pmatrix}

Aˉ=(a11a12...a1nb1a21a22...a2nb2...............as1as2...asnbs)\bar{A}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & ... &a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n} & b_2 \\ ... & ... & ...&... & ...\\ a_{s1} & a_{s2} & ... &a_{sn}& b_s\end{pmatrix}

引入向量

α1=(a11a21...as1),α2=(a12a22...as2),...,αn=(a1na2n...asn),β=(b1b2...bn)\alpha_1=\begin{pmatrix} a_{11}\\a_{21}\\.\\.\\.\\a_{s1}\\ \end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix} a_{12}\\a_{22}\\.\\.\\.\\a_{s2}\\ \end{pmatrix},...,\alpha_n=\begin{pmatrix} a_{1n}\\a_{2n}\\.\\.\\.\\a_{sn}\\ \end{pmatrix},\beta=\begin{pmatrix} b_{1}\\b_{2}\\.\\.\\.\\b_{n}\\ \end{pmatrix}

于是(1)可表为x1α1+x2α2+...+xnαn=βx_1\alpha_1+x_2\alpha_2+...+x_n\alpha_n=\beta

\therefore(1) 有解\Leftrightarrow 可由向量组α1+α2+...+αn\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_n线性表出.

定理 线性方程组(1)有解的充分必要条件是(1)的系数矩阵与增广矩阵的秩相等,即

R(A)=R(Aˉ)R(A)=R(\bar{A})

总之,线性方程组(1)有解 R(A)=R(Aˉ)\Leftrightarrow R(A)=R(\bar{A})

并且,若 R(A)=R(Aˉ)=nR(A)=R(\bar{A})=n 则(1)有唯一解;

R(A)=R(Aˉ)<nR(A)=R(\bar{A})<n 则(1)有无穷多个解.

2.齐次线性方程组解的结构

{a11x1+a12x2+...a1nxn=0a21x1+a22x2+...a2nxn=0...as1x1+as2x2+...asnxn=0\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...a_{1n}x_n=0\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...a_{2n}x_n=0\\ ...\\a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+...a_{sn}x_n=0\\ \end{matrix}\right. (1)

2.1 解的性质

性质1 (1)的两个解的和还是(1)的解.

性质2 (1)的一个解的倍数还是(1)的解.

性质3 (1)的解的任一线性组合还是(1)的解

2.2 解空间

WW 为齐次线性方程组(1)的全体解向量所成集合,则

1)η1η2W,η1+η2W1)\forall \eta _1、\eta _2 \in W,\eta _1+\eta _2 \in W

2)kP,ηW,kηW2)\forall k \in P,\forall \eta \in W,k\eta \in W

即 W 关于解的线性运算封闭,所以 W是一个向量空间,称之为齐次线性方程组(1)的 解空间.

2.3 基础解系

定义 齐次线性方程组(1)一组解向量 η1,η2,...ηr,\eta_1,\eta_2,...\eta_r,

若满足

i) η1,η2,...ηr,\eta_1,\eta_2,...\eta_r,线性无关;

ii)(1) 的任一解向量可由η1,η2,...ηr,\eta_1,\eta_2,...\eta_r,线性表出.则称 η1,η2,...ηr,\eta_1,\eta_2,...\eta_r,为(1)的一个 基础解系.

2.4 基础解系的存在性

定理 在齐次线性方程组有非零解的情况下,它有基础解系,并且基础解系所含解向量的个数等于 n-r ,其中n是未知量的个数,r=R(A).

推论1 任一线性无关组的与(1)的某一基础解系等价的向量组都是(1)的基础解系.

推论2 若齐次线性方程组(1)的系数矩阵的秩为 r ,则(1)的任意 n-r 个线性无关的解向量都是(1)的基础解系.

2.5 齐次线性方程组解的结构

η1,η2,...ηt\eta_1,\eta_2,...\eta_t 为齐次线性方程组(1)的一个基础解系,则(1)的 一般解(或通解)为

η=k1η1+......+ktηt,k1,k2,...,ktP\eta=k_1\eta_1+......+k_t\eta_t,k_1,k_2,...,k_t \in P

W={η=k1η1+......+ktηtkiP,i=1,...,t,W=\{\eta=k_1\eta_1+......+k_t\eta_t|k_i \in P,i=1,...,t,

则 W 就是齐次线性方程组(1)的 解空间

2.6 求基础解系的一般方法

第一步: 对方程组(1)的系数矩阵A作初等行变换,化A为行最简形.不妨设

A(10...0c1,r+1...c1n01...0c2,r+1...c2n.....................00...1cr,r+1...crn00...00...0.....................00...00...0)A\overset{初等行变换}{\rightarrow}\rightarrow\begin{pmatrix} 1 & 0& ... & 0 & c_{1,r+1}& ...& c_{1n} \\ 0 & 1& ... & 0 & c_{2,r+1}& ...& c_{2n} \\ ...&...&...&...&...&...&...& \\ 0 & 0& ... & 1 & c_{r,r+1}& ...& c_{rn} \\ 0&0&...&0&0&...&0& \\ ...&...&...&...&...&...&...& \\ 0&0&...&0&0&...&0& \\ \end{pmatrix}

第二步:写出方程组(1)的一般解:

{x1=c1,r+1xr+1...c1nxnx2=c2,r+1xr+1...c2nxn..............xr=cr,r+1xr+1...crnxn\left\{\begin{matrix} x_1=-c_{1,r+1}x_{r+1}-...-c_{1n}x_{n}\\ x_2=-c_{2,r+1}x_{r+1}-...-c_{2n}x_{n}\\ ..............\\ x_r=-c_{r,r+1}x_{r+1}-...-c_{rn}x_{n}\\ \end{matrix}\right.

xr+1,xr+2,...,xnx_{r+1},x_{r+2},...,x_n为自由未知量.

第三步:

用 n - r 组数(1,0,… ,0),(0,1, …,0),… ,(0,… ,0,1)代入自由未知量(xr+1,xr+2,...,xn)(x_{r+1},x_{r+2},...,x_n)得出方程组(1)的 n - r 解:

3.一般线性方程组解的结构

设线性方程组{a11x1+a12x2+...a1nxn=b1a21x1+a22x2+...a2nxn=b2...as1x1+as2x2+...asnxn=bs\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...a_{2n}x_n=b_2\\ ...\\a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+...a_{sn}x_n=b_s\\ \end{matrix}\right. (3)

则齐次线性方程组

{a11x1+a12x2+...a1nxn=0a21x1+a22x2+...a2nxn=0...as1x1+as2x2+...asnxn=0\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...a_{1n}x_n=0\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...a_{2n}x_n=0\\ ...\\a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+...a_{sn}x_n=0\\ \end{matrix}\right. (4)

称为(3)的导出组.

3.1 解的性质

性质1 非齐次线性方程组(3)的两个解ξ1ξ2\xi _1 、\xi _2的差

ξ1ξ2\xi _1 -\xi _2 为其导出组(4)的解.

性质2 非齐次线性方程组(3)的一个解ξ\xi与其导出 组(4)的一个解 η\eta的和ξ+η\xi +\eta 仍为(3)的解.

 非齐次线性方程组的两个解的和及一个解的倍数一般不再是该非齐次线性方程组的解

3.2 非齐次线性方程组解的结构

定理 如果γ0\gamma_0 是非齐次线性方程组(3)的一个特解,那么方程组(3)的任一个解 γ\gamma 都可以表成

γ=γ0+η\gamma=\gamma_0+\eta

η\eta 为其导出组(4)的一个解.

从而,方程组(3)的一般解为

γ=γ0+k1η1+...+knrηnr\gamma=\gamma_0+k_1\eta_1+...+k_{n-r}\eta_{n-r}

η1,η2,...ηnr,\eta_1,\eta_2,...\eta_{n-r}, 为导出组(4)的一个基础解系.

推论 非齐次线性方程组(3)在有解的条件下,解是唯一的充要条件是它的导出(4)只有零解.

3.3 求一般线性方程组(3)的一般解的步骤

第一步:对(3)的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵,根据阶梯阵判断(3)是否有解.若有无穷多个解,先写出(3)的一个特解 γ0\gamma_0

第二步:求出(3)的导出组(4)的一个基础解系

η1,η2,...ηt\eta_1,\eta_2,...\eta_t

第三步:写出(3)的一般解(通解)

γ=γ0+k1η1+...+ktηt,k1,k2,...,ktP\gamma=\gamma_0+k_1\eta_1+...+k_{t}\eta_{t},k_1,k_2,...,k_t \in P

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