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线性方程组有解判别定理
1.线性方程组有解判别定理
定义
设线性方程组 (1)
其系数矩阵A和增广矩阵分别为
引入向量
于是(1)可表为
(1) 有解 可由向量组线性表出.
定理 线性方程组(1)有解的充分必要条件是(1)的系数矩阵与增广矩阵的秩相等,即
总之,线性方程组(1)有解
并且,若 则(1)有唯一解;
若 则(1)有无穷多个解.
2.齐次线性方程组解的结构
(1)
2.1 解的性质
性质1 (1)的两个解的和还是(1)的解.
性质2 (1)的一个解的倍数还是(1)的解.
性质3 (1)的解的任一线性组合还是(1)的解
2.2 解空间
设 为齐次线性方程组(1)的全体解向量所成集合,则
即 W 关于解的线性运算封闭,所以 W是一个向量空间,称之为齐次线性方程组(1)的 解空间.
2.3 基础解系
定义 齐次线性方程组(1)一组解向量
若满足
i) 线性无关;
ii)(1) 的任一解向量可由线性表出.则称 为(1)的一个 基础解系.
2.4 基础解系的存在性
定理 在齐次线性方程组有非零解的情况下,它有基础解系,并且基础解系所含解向量的个数等于 n-r ,其中n是未知量的个数,r=R(A).
推论1 任一线性无关组的与(1)的某一基础解系等价的向量组都是(1)的基础解系.
推论2 若齐次线性方程组(1)的系数矩阵的秩为 r ,则(1)的任意 n-r 个线性无关的解向量都是(1)的基础解系.
2.5 齐次线性方程组解的结构
若 为齐次线性方程组(1)的一个基础解系,则(1)的 一般解(或通解)为
令
则 W 就是齐次线性方程组(1)的 解空间
2.6 求基础解系的一般方法
第一步: 对方程组(1)的系数矩阵A作初等行变换,化A为行最简形.不妨设
第二步:写出方程组(1)的一般解:
为自由未知量.
第三步:
用 n - r 组数(1,0,… ,0),(0,1, …,0),… ,(0,… ,0,1)代入自由未知量得出方程组(1)的 n - r 解:
3.一般线性方程组解的结构