声明:部分内容来自于慕课,公开课等的课件,仅供学习使用。如有问题,请联系删除。
部分内容来自北京大学,清华大学等的课件
矩阵的运算:加法,乘法,数量乘法,转置
1.加法
1.1 定义
设则矩阵
称为矩阵A与B的和,记作 C=A+B .即
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.
1.2 性质
(1) A+B = B+A 交换律
(2) A+(B+C)=(A+B)+C 结合律
(3) A+0 = A
(4) A+(-A) = 0
1.3 减法
A-B = A+(-B)
2.乘法
2.1 定义
设则矩阵
其中
称为 A与B的 积,记为 C = AB .
注
① 乘积 AB 有意义要求 A 的列数=B 的行数.
② 乘积 AB 中第 i 行第 j 列的元素由 A的第 i 行乘 B 的第 j 列相应元素相加得到.
例: 线性方程组
(1)
令,X=B=
则(1)可看成矩阵方程 AX = B .
注
① 一般地, .
若 AB = BA ,称A与B可交换.
② AB A B 未必有 A=0 或 B=0.
即 且 时,有可能 AB = 0
③ AX = AY 未必 X=Y
2.2 矩阵乘法的运算规律
(1) (AB)C = A(BC) (结合律)
(2) A(B+C) = AB + AC
(B+C)A = BA + CA (分配律)
(3)
(4) A0 = 0, 0A = 0
(5)
2.3 矩阵的方幂
定义 设 A为n级方阵. 定义
即,
称为A的 k次幂
性质
(1)
(2)
(3) 一般地 ,
3.数量乘法
3.1 定义
设则矩阵
称为矩阵 A 与数 k 的数量乘积.记作:kA.
3.2 性质
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
注 : 矩阵的加法与数量乘法合起来,统称为矩阵的线性运算 .
(6) 若 A 为 n 级方阵, ;
(7) ;
(数量矩阵与任意矩阵可交换)
(8)
(9) (kE)(lE)=(kl)E.
(数量矩阵加法与乘法可归结为数的加法与乘法)
4.转置