【人工智能学习笔记】 1.3高等代数(一) -8.一般线性方程组的基本概念,线性方程组的初等变换,齐次线性方程组的解

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一般线性方程组的基本概念:系数矩阵,增广矩阵 ;线性方程组的初等变换

1.一般线性方程组的基本概念

1.1 一般线性方程组是指形式为

$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...a_{2n}x_n=b_2\\ ...\\a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+...a_{sn}x_n=b_s\\ \end{matrix}\right.$ (1)

的方程组，其中 $x_1,x_2,...,x_n$代表 n个未知量的系数,s是方程的个数 ; $a_{ij}(i=1,2,...,s,j=1,2,...,n)$　称为方程组的系数；：$b_i(i=1,2,...,s)$称为常数项

1.2 方程组的解

设$k_1,k_2,...,k_n$ 是 n个数，如果$x_1,x_2,...,x_n$ 分别用

$k_1,k_2,...,k_n$ 代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式,则称有序数组 $k_1,k_2,...,k_n$ 　是（1）的一个解

(1)的解的全体所成集合称为它的解集合．

解集合是空集时就称方程组（1）无解．

1.3 同解方程组

如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们是同解的．

1.4 方程组的系数矩阵与增广矩阵

矩阵$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & ... &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n} \\ ... & ... & ...&... \\ a_{s1} & a_{s2} & ... &a_{sn}\end{pmatrix}$

称为方程组（1）的系数矩阵 ;

而矩阵$\bar{A}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & ... &a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n} & b_2 \\ ... & ... & ...&... & ...\\ a_{s1} & a_{s2} & ... &a_{sn}& b_s\end{pmatrix}$

称为方程组（1）的增广矩阵

2.线性方程组的初等变换

2.1 定义

线性方程组的初等变换是指下列三种变换

① 用一个非零的数乘某一个方程；

② 将一个方程的倍数加到另一个方程上；

③ 交换两个方程的位置．

2.2 性质

线性方程组经初等变换后，得到的线性方程组与原线性方程组同解．

2.3 阶梯形方程组

为了讨论的方便，不妨设所得的阶梯形方程组为

$\left\{\begin{matrix} c_{11}x_1+c_{12}x_2+...+c_{1r}x_r+...+c_{1n}x_n=d_1\\ c_{22}x_2+...+c_{2r}x_r+...+c_{2n}x_n=d_2\\ .....................................................................\\ c_{rr}x_r+...+c_{rn}x_n=d_r\\ 0=d_{r+1}\\ 0=0\\ .......\\ 0=0\\ \end{matrix}\right.$

i)　若 r = n ．这时阶梯形方程组为

$\left\{\begin{matrix} c_{11}x_1+c_{12}x_2+...+c_{1n}x_n=d_1\\ c_{22}x_2+...+c_{2n}x_n=d_2\\ .....................................................................\\ c_{nn}x_n=d_n\\ \end{matrix}\right.$

由Cramer法则，此时方程组有唯一解

ii)　若 r < n ，这时阶梯形方程组可化为

$\left\{\begin{matrix} c_{11}x_1+c_{12}x_2+...+c_{1r}x_r=d_1-c_{1,r+1}x_{r+1}-...-c_{1n}x_n\\c_{22}x_2+...+c_{2r}x_r=d_2-c_{2,r+1}x_{r+1}-...-c_{2n}x_n\\ .................\\ c_{rr}x_r=d_r-c_{r,r+1}x_{r+1}-...-c_{rn}x_n\\ \end{matrix}\right.$

此时方程组有无穷多个解

总结：一般地，我们可以把 $x_1,...,x_r$通过$x_{r+1},...,x_n$表示出来．这样一组表达式称为方程组的一般解，而$x_{r+1},...,x_n$称为一组自由未知量。

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3.齐次线性方程组的解

3.1 定理1

在齐次线性方程组

$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=0\\ ................................................ \\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+...+a_{sn}x_n=0\\ \end{matrix}\right.$

中，如果 s < n ，则它必有非零解。