【人工智能学习笔记】 1.1数学分析(一) -4.无穷小量

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无穷小量

1.无穷小及其阶

 1.1 无穷小和无穷大的定义

  无穷小的定义: 当$x\rightarrow x_0$或$x\rightarrow \infty$时，极限为零的函数称为无穷小量,

  简称无穷小

 1.2 无穷小的阶

  例: 当$x\rightarrow 0$时,$x,x^2,sinx$都是无穷小

     $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x^2}{3x}=0$,$x^2$比3x要快得多

    $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{sinx}{3x}=\frac{1}{3}$,$sinx$比3x大致相同

  极限不同，反映了无穷小趋向于零的"快慢"程度不同。

 1.3 无穷小的比较

   定义:假设$\alpha,\beta$是同一过程中的两个无穷小量，且$\alpha \neq 0.$

  (1)如果$\lim{\frac{\beta}{\alpha}}=0$,则称$\beta$是比$\alpha$高阶的无穷小, 记作$\beta =o(\alpha)$;

  (2)如果$\lim{\frac{\beta}{\alpha}}=C(C\neq 0)$,则称$\beta$与$\alpha$是同阶的无穷小；
  特殊地 如果$\lim{\frac{\beta}{\alpha}}=1$,则称$\beta$是$\alpha$的k价的无穷小；记作$\alpha\sim \beta$;

  (3)如果$\lim{\frac{\beta}{\alpha^k}}=C$,则称$\beta$与$\alpha$是等价的无穷小；记作$\alpha\sim \beta$;

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2.等价无穷小替换定理(法则):

2.1 定理： 等价无穷小替换定理(法则)

   设$\alpha\sim \alpha',\beta\sim \beta'(\alpha' \neq0,\beta' \neq0),$且$\lim \frac{\beta'}{\alpha'}=A或\infty$，则

$\Large\color{red}\lim{\frac{\beta}{\alpha}}=\lim{\frac{\beta'}{\alpha'}}$;

 2.2 无穷小等价代换

$\Large\color{#C00000}(1) sinx \sim x$;

$\Large\color{#C00000}(2) tanx \sim x$;

$\Large\color{#C00000}(3) arcsinx \sim x$;

$\Large\color{#C00000}(4) e^x-1 \sim x$;

$\Large\color{#C00000}(5) ln(1+x) \sim x$;

$\Large\color{#C00000}(6) (1+x)^\alpha-1 \sim x$;

$\Large\color{#C00000}(7) 1-cosx \sim \frac{x^2}{2}$;