【人工智能学习笔记】 1.1数学分析(一) -2.函数

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映射和函数

   定义：设X，Y为两个非空集合，如果f是一种规则，对于$\forall x \in X$，在B中有唯一元素f(x)与之对应，则称f是A到B的映射。

记作：$f: X \rightarrow Y$

  A称为f的定义域，记作D(f)=X

  Y中像的全体称为映射f的值域，记作R(f)或f(x)

1.函数的定义

   定义1.1: (一元函数定义) 设D为一个非空集合，如果有一个对应规则f，使每个$x\in D$，都有一个确定的实数y与其对应，则称f为定义在D上的一个函数。

记作: $y= f(x), x \in D$ 。

2.函数的几种性质:

   如何利用函数符号来描述函数的特性。

 2.1 奇函数与偶函数

   $\forall x \in D(f),$$f(-x)=f(x)$ , 则称为偶函数;

    $\forall x \in D(f),$ $f(-x)=-f(x)$ , 则称为奇函数;

 2.2 单调函数

   $\forall x_1,x_2 \in D,x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ , ( $f(x_1) \leq f(x_2)$),
则称在上为单调增加函数(单调非减函数);

   $\forall x_1,x_2 \in D,x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ , ( $f(x_1) \geq f(x_2)$),
  则称在上为单调减少函数(单调非增函数);

 2.3 周期函数

 设y = f(x), 若$\exists T>0$，使得f(x) = f(x+T)恒成立，则称f是以T为周期的周期函数.

 满足这个等式的最小正数T, 称为函数的最小正周期(或基本周期) 例如考察狄利克函数

 2.4 有界函数

 若$\exists M>0$,使得$\forall x \in D。|f(x)|\leq M$ , 称f是D上有界函数

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3.复合函数与反函数

 3.1 复合函数

    设 : $y= f(u),u=\varphi(x)$, 称$y= f(\varphi(x))$ 为由 $y= f(u),u=\varphi(x)$复合而成的复合函数.
.
    u是中间变量，x为自变量

 3.2 反函数

    如果 $x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$, 则在定义域D与值域f(D)之间$\forall y \in f(D), \exists !x \in D,y=f(x)$可以将x看作y的函数.这个函数关系是将原来的函数u= f(x)中的自变量与因变量颠倒过来而构成的函数关系,所以把这个函数称为y= f(x)的反函数,

    记作: $\Large \color{red}x=f^{-1}(y)$

    由定义可以知道,反函数$f^{-1}$的定义域是函数的值域f(D);
$f^{-1}$ 的值域是函数f的定义域D.

例：原函数与反函数的图形关于直线y = x对称

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