【人工智能学习笔记】 1.3高等代数(一) -9.n维向量的概念,n维向量的运算,n维向量空间

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n维向量的概念,n维向量的运算,n维向量空间

1.n维向量的概念

1.1 定义

由数域P上的n个数组成的有序数组($a_1,a_2,...,a_n$)称为数域P上的一个n维向量；

$a_i$称为该向量的第i个分量．

注:

① 向量常用小写希腊字母$\alpha,\beta,\gamma,...$ 来表示；

② 向量通常写成一行 $\alpha = (a_1,a_2,...,a_n)$称之为行向量；

向量有时也写成一列 $\alpha = \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ .\\ .\\ .\\ a_n \end{pmatrix}$称之为列向量

1.2 向量的相等

如果n维向量 $\alpha = (a_1,a_2,...,a_n),\beta = (b_1,b_2,...,b_n)$的对应分量皆相等，即

$a_i=b_i,i=1,2,...,n$

则称向量 $\alpha$与 $\beta$ 相等，记作 $\alpha =\beta$

．

1.3 特殊向量

零向量：分量全为零的向量称为零向量，记作0．即: 0 (0,0, ,0) .

负向量：向量$\alpha = (a_1,a_2,...,a_n),$ 则向量$(-a_1,-a_2,...,-a_n)$称为向量$\alpha$的负向量，记作$-\alpha$ .

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2.n 维向量的运算 — 加法、数量乘法

2.1 定义

设向量$\alpha = (a_1,a_2,...,a_n),\beta=(b_1,b_2,...,b_n)$

k 为数域 P 中的数，定义向量

$\alpha +\beta = (a_1+b_1,a_2+b_2,...,a_n+b_n)$

称$\alpha +\beta$ 为向量 $\alpha$ 与 $\beta$ 的和；

定义向量$k\alpha = (ka_1,ka_2,...,ka_n)$

称 $k\alpha$ 为向量 $\alpha$ 与数 k 的数量乘积．

2.2 向量运算的基本性质

1） $\alpha+\beta=\beta+\alpha$

2） $(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$

3） $\alpha+0= \alpha$

4） $\alpha+(-\alpha)= 0$

5） $k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta$

6） $(k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha$

7） $k(l\alpha)= (kl)\alpha$

8） $1.\alpha= \alpha$

9） $0.\alpha=0，k.0=0,(-1).\alpha=-\alpha$

10）若$k\neq 0,\alpha\neq 0$,则$k.\alpha\neq0$

即，若$k.\alpha=0$,则$k=0$或$\alpha=0$

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3.n 维向量空间

定义

数域P上的 n 维向量的全体，同时考虑到定义在它们上的加法和数量乘法，称为数域 P 上的n 维向量空间，记作$P^n$

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