【人工智能学习笔记】 1.1数学分析(一) -7.导数

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导数

   导数是通过一些物理，几何学等的应用中抽象出来的概念，瞬时速度和平均速度对应。

   平均速度=$\large\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t} =\overline{v}$

   瞬时速度=$\large \lim_{\Delta t \rightarrow0}\frac{\Delta s}{\Delta t}= \lim_{\Delta t \rightarrow0}\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t} =v(t_0)$

   几何学中的切线的斜率也是导数

   切线斜率=$\large \lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}= \lim_{\Delta x \rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} =k$

1.导数的定义

   设函数y=f(x)在$x_0$的某邻域$U(x_0,\delta)$内有定义，如果极限

   $\large \lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}= \lim_{\Delta x \rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

存在，则称函数y=f(x)在点$x_0$处可导。 并且此极限为y=f(x)在点$x_0$处的导数，

记作$f'(x_0)$或$y'(x)|_{x=x_0}$或$\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}$或$\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0}$。

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2.导数的四则运算

和：$\color{red}(u+v)'=u'+v'$

差： $\color{red}(u-v)'=u'-v'$

积：$\color{red}(uv)' = u'v+uv'$

商：$\color{red}\Large(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

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3.链式法则 Chain Rules $\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar$

链式法则适用于计算机的所有领域，是自然科学中最重要的法则之一。

$\color{red}\Large{\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} . \frac{dx}{dt}}$

例:

$\frac{d}{dt}(sint)^{10}$

解：
1) 令 x =sint
2) $=10x^9.cos(t)$
3) $= 10(sint(t))^{9}.cos(t)$

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4.反函数求导法则

如果函数$x=\varphi(y)$在某区间$I_y$内单调，可到且$\varphi'(y) \neq0,$则它的反函数y=f(x)在对应区间$I_x$内也可导， 且有

$\large f'(x)=\frac{1}{\varphi'(y)}$

即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数

5.对数函数，参数式函数性质

 5.1 对数函数性质

$\large ln(ab)=lna+lnb$

$\large ln\frac{a}{b}=lna-lnb$

$\large ln(a^b)=blna$

 5.2 参数式函数定义

  若参数方程$\left\{\begin{matrix} x=x(t)\\ y=y(t) \end{matrix}\right.$确定y与x之间的函数关系，称此函数为参数方程

6.高阶导数的定义

 如果函数f(x)的导数f’(x)在点x处可导，即

$\lim_{\Delta x \rightarrow0}\frac{f'(x+\Delta x)-f'(x)}{\Delta x}$

存在，则称为函数f(x)在点x处的二阶导数。

记作 $f''(x), y'', \Large\frac{d^2y}{dx^2}$或$\Large \frac{d^2f(x)}{fx^2}$

n阶导数的定义为:

$f^{(n)}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow0}\frac{f^{(n-1)}(x+\Delta x)-f^{(n-1)}(x)}{\Delta x}$