【人工智能学习笔记】 1.1数学分析(一) -10.定积分

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定积分

引言

   定积分可以用于求曲边梯形的面积=$\int_{a}^{b} f(x) dx$。

简写 $\sum_{i=1}^{n} a_i = a_1+a_2+...+a_n$

$\sum$ 叫做 sigma

   ${\large\sum_{i=1}^{n} f(c_i) \Delta x\rightarrow \int_{a}^{b} f(x)dx}$

1.定积分的表达式

$\color{red}\Large \int_{a}^{b} f(x)dx=I$

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2. 存在定理

 2.1 定理1

  若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积

 2.2 定理2

  若函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一间断点，则f(x)在区间[a.b]上可积。

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3. 牛顿-莱布尼兹公式

微积分第一定理

Fundamental theorem of calculus(FTC1)

${ {\large\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b)-F(a)}=F(x)|_{a}^{b}}$

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4.定积分的性质

Properties of integrals

$1.\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))dx = \int_{a}^{b}f(x)dx +\int_{a}^{b}g(x)dx$

$2.\int_{a}^{b}Cf(x)dx = C\int_{a}^{b}f(x)dx$

$3.\int_{a}^{b}f(x)dx +\int_{b}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{c}f(x)dx \ \ (a<b<c)$

$4.\int_{a}^{a}f(x)dx = 0$

$5.\int_{a}^{b}f(x)dx = -\int_{b}^{a}f(x)dx$

6. (估计法)如果 f(x)<=g(x),那么:$\int_{a}^{b}f(x)dx \leq \int_{a}^{b}g(x)dx$